Deskripsi tingkat-tinggi:
- Jika tidak ada angka dalam deret maka tidak ada bilangan terbesar.
- Asumsikan item pertama dalam deret adalah yang terbesar.
- Untuk setiap sisa angka dalam deret, jika angka tersebut besar dari angka terbesar sekarang, anggap angka tersebut menjadi yang terbesar dalam deret.
- Bila tidak ada lagi angka yang tersisa pada deret untuk diperiksa, anggap angka terbesar sekarang menjadi angka yang terbesar dalam deret.
Algoritma LargestNumber Masukan: Deret angka L. Keluaran: Angka terbesar dalam daftar L.
terbesar ← Lnull
untuk setiap item dalam L, lakukan
jika item > terbesar, maka
terbesar ← item
kembalikan terbesar
- "←" adalah singkatan untuk "diubah menjadi". Misalnya, "terbesar ← item" artinya nilai dari terbesar diubah menjadi nilai dari item.
- "kembalikan" mengakhiri algoritma dan mengeluarkan nilai kembalian.
Algoritme Euclid
Algoritme Euclid muncul sebagai Proposisi II dalam Book VII ("Elementary Number Theory") dari Elements. [45] Euclid mengajukan permasalahan: "Ambil dua angka bukan prima, untuk mencari bilangan pembagi terbesar". Dia menentukan "Sebuah angka [merupakan] besaran yang terdiri dari unit-unit": angka penghitung, integer positif kecuali 0. Dan "mengukur" adalah menempatkan ukuran panjang terkecil s dengan tepat (q kali) di antara ukuran terpanjang l sampai sisa r lebih kecil dari panjang terkecil s. [46] Dalam dunia modern, sisa r = l - q*s, q sebagai hasil bagi, atau sisa r adalah "modulus", bagian sisa-integer yang tersisa setelah pembagian. [47]Supaya metode Euclid berhasil, panjang awalnya harus memenuhi dua kebutuhan: (i) panjangnya tidak 0, DAN (ii) hasil pengurangan harus "lebih", sebuah pengujian harus menjamin bahwa bilangan terkecil dari dua angka adalah hasil pengurangan dari yang terbesar (cara lain, keduanya bisa sama sehingga pengurangan menghasilkan 0).
Pembuktian asli Euclid mengikutkan kebutuhan yang ketiga: kedua panjang bukanlah bilangan prima. Euclid menentukan hal ini supaya dia bisa membentuk sebuah bukti reductio ad absurdum bahwa dua pembagi dua angka adalah yang terbesar. [48] Walau algoritme Nicomachus sama dengan Euclid, bila kedua bilangan prima maka menghasilkan angka "1" untuk bilangan pembagi terbesar. Jadi untuk lebih jelasnya algoritme berikut adalah algoritme Nicomachus.
Contoh
Ekspresi grafik dari algoritme Euclid menggunakan contoh dengan 1599 dan 650.
1599 = 650*2 + 299
650 = 299*2 + 52
299 = 52*5 + 39
52 = 39*1 + 13
39 = 13*3 + 0
Bahasa komputer untuk algoritme Euclid
Hanya beberapa tipe instruksi yang dibutuhkan untuk mengeksekusi algoritme—beberapa tes logika (GOTO bersyarat), GOTO tak bersyarat, penetapan (penggantian), dan pengurangan.- Sebuah lokasi disimbolkan dengan huruf besar, misalnya, S, A, dll.
- Kuantitas beragam (angka) dalam sebuah lokasi ditulis dengan huruf kecil dan (biasanya) dihubungkan dengan nama lokasi. Sebagai contohnya, lokasi L pada awal bisa mengandung angka l = 3009.
Program yang kurang elegan (inelegan) untuk algoritme Euclid
"Inelegan"
adalah terjemahan dari versi Knuth terhadap algoritme berdasarkan
pengulangan-sisa mengganti pembagian (atau instruksi "modulus"). Diambil
dari Knuth 1973:2-4. Bergantung pada kedua angka "Inelegan" bisa
menghitung f.p.k dengan sedikit langkah daripada "elegan".
INPUT:
1 [Kedalam dua lokasi L dan S taruh angka l dan s yang merepresentasikan kedua panjang]: INPUT L, S 2 [Inisialisasi R: buat supaya sisa panjang r sama dengan panjang awal l] R ← L
E0: [Pastikan r ≥ s.]
3 [Pastikan angka terkecil dari kedua angka ada dalam S dan yang terbesar di R]: IF R > S THEN isi dari L adalah angka terbesar jadi lewati langkah 4, 5 dan 6: GOTO step 6 ELSE tukar isi R dan S. 4 L ← R (langkah pertama ini berlebih, tetapi berguna untuk diskusi nanti). 5 R ← S 6 S ← L
E1: [Cari sisa]:
Sampai sisa panjang r di R kurang dari panjang terkecil s pada S, kurangi angka s dalam S berulang kali dari sisa panjang r dalam R.
7 IF S > R THEN selesai mengukur jadi GOTO 10 ELSE ukur lagi, 8 R ← R - S 9 [Pengulangan-sisa]: GOTO 7.
E2: [Apakah sisa 0?]:
APAKAH (i) pengukuran terakhir adalah sama dan sisa di R adalah 0 program dapat berhenti, ATAU (ii) algoritme harus terus jalan: hasil pengukuran meninggalkan sisa di R kurang dari angka pengukuran dalam S.
10 IF R = 0 THEN selesai jadi GOTO langkah 15 ELSE lanjut ke langkah 11,
E3: [Interchange s dan r]:
Sulitnya algoritme Euclid. Menggunakan sisa r untuk mengukur angka terkecil sebelumnya s:; L sebagai lokasi sementara.
11 L ← S 12 R ← S 13 S ← L 14 [Ulang proses pengukuran]: GOTO 7
OUTPUT:
15 [Selesai. S berisi faktor persekutuan terbesar]:
PRINT S
DONE:
16 HALT, END, STOP.
Program elegan untuk algoritme Euclid
Versi algoritme Euclid berikut hanya membutuhkan 6 instruksi inti untuk melakukan 13 langkah pada solusi "inelegan"; parahnya, "inelegan" membutuhkan tipe instruksi lebih banyak. Diagram alur dari "elegan" bisa dilihat pada bagian atas artikel ini. Dalam bahasa Basic (tak terstruktur) langkahnya diberi nomor, dan instruksi LET [] = [] adalah instruksi penetapan disimbolkan dengan ←.5 REM Algoritme Euclid untuk faktor persekuturan terbesar 6 PRINT "Masukan dua integer besar dari 0" 10 INPUT A,B 20 IF B=0 THEN GOTO 80 30 IF A > B THEN GOTO 60 40 LET B=B-A 50 GOTO 20 60 LET A=A-B 70 GOTO 20 80 PRINT A 90 END
Bagaimana cara kerja "Elegan": Sebagai pengganti "pengulangan Euclid" luar, "Elegan" mengulang antara dua pengulangan, pengulangan A > B yang menghitung A ← A - B, dan pengualang B ≤ A yang menghitung B ← B - A. Hal ini bekerja karena, saat yang dikurang M lebih kecil pengurang S ( Selisih = pengurang - yang_di_kurang ), yang_dikurang bisa menjadi s (panjang pengukuran yang baru) dan pengurang bisa menjadi r yang baru (panjang yang akan diukur); dengan kata lain "arti" dari pengurangan dibalik.
Menguji algoritme Euclid
Apakah algoritme berjalan seperti yang penulis inginkan? Beberapa kasus uji cukup menentukan fungsi inti. Sumber pertama [49] menggunakan 3009 dan 884. Knuth menyarankan 40902, 24140. Kasus menarik lainnya yaitu dua angka relatif prima 14157 dan 5950.Tapi kasus pengecualian harus teridentifikasi dan diuji. Apakah "inelegan" berjalan benar saat R > S, S > R, R = S? Sama juga dengan "Elegan": B > A, A > B, A = B? (Semuanya benar). Apa yang terjadi bila salah satu bilangan nol, atau keduanya nol? ("Inelegan" terus berjalan pada kedua kasus; "elegan" terus berjalan saat A = 0.) Apa yang terjadi bila angka negatif dimasukan? Angka desimal? Bila angka masukan, misalnya domain dari fungsi yang dihitung oleh algoritme/program, mengikutkan hanya integer positif termasuk 0, maka kegagalan pada nol mengindikasikan bahwa algoritme (dan program instansiasinya) adalah sebuah fungsi parsial bukannya fungsi total. Kesalahan yang terkenal karena eksepsi adalah kegagalan roket Ariane V.
Bukti dari kebenaran program menggunakan induksi matematika: Knuth mendemonstrasikan penggunaan induksi matematika untuk versi "pengembangan" dari algoritme Euclid, dan dia mengajukan "metode umum yang digunakan untuk membuktikan validitas dari setiap algoritme." [50] Tausworthe mengajukan bahwa sebuah pengukuran dari kompleksitas dari sebuah program adalah panjang dari pembuktian kebenarannya. [51]
Menghitung dan meningkatkan algoritme Euclid
Elegan (kepadatan) lawan kebaikan (kecepatan): Dengan hanya 6 instruksi dasar, "Elegan" adalah jelas pemenang dibandingkan dengan instruksi "inelegan" dengan 13 instruksi. Namun, "inelegan" lebih cepat (ia sampai pada HALT dengan langkah lebih sedikit). Analisis algoritme [52] mengindikasikan kenapa hal tersebut terjadi: "Elegan" melakukan pengujian kondisi dua kali disetiap pengulangan pengurangan, sementara "inelegan" hanya sekali. Bila algoritme (biasanya) membutuhkan banyak pengulangan, secara rata-rata lebih banyak waktu yang terbuang saat melakukan tes "B = 0?" yang hanya diperlukan saat sisa sudah dihitung.Bisakah algoritme ditingkatkan?: Bila programmer sudah menilai sebuah program "cocok" dan "efektif"—yaitu, ia menghitung fungsi yang ditujukan oleh penulisnya—maka pertanyaannya menjadi, bisakah ditingkatkan?
Kepadatan dari "inelegan" bisa ditingkatkan dengan menghilangkan 5 langkah. Tapi Chaitin membuktikan bahwa memadatkan algoritme tidak bisa diotomatiskan dengan algoritme generalisasi; [53] tapi, ia bisa dilakukan secara heuristik, misalnya dengan pencarian menyeluruh (contohnya bisa ditemukan di Berang sibuk), coba dan gagal, kecerdasan, kedalaman, penggunaan penalaran induktif, dll. Bisa diamati bahwa langkah 4, 5, dan 6 diulang pada langkah 11, 12, dan 13. Pembandingan dengan "Elegan" menyediakan petunjuk langkah-langkah tersebut dengan langkah 2 dan 3 dapat dihilangkan. Hal ini mereduksi jumlah instruksi dasar dari 13 menjadi 8, yang membuatnya "lebih elegan" dari "Elegan" dengan 9 langkah.
Kecepatan "Elegan" bisa ditingkatkan dengan memindahkan tes B=0? keluar dari pengulangan. Perubahan ini memerlukan penambahan 3 instruksi (B=0?, A=0?, GOTO). Sekarang "Elegant" menghitung contoh-angka lebih cepat; untuk setiap angka pada A, B dan R, S hal ini selalu merupakan kasus yang membutuhkan analisis yang mendalam.
Analisis Algoritme
Sangat penting untuk mengetahui berapa banyak sumber tertentu (seperti waktu dan tempat penyimpanan) secara teoretis diperlukan untuk sebuah algoritme. Metode-metode telah dikembangkan untuk analisis algoritme untuk mendapatkan jawaban kuantitatif (estimasi); sebagai contohnya, algoritme pengurutan di atas memerlukan waktu O(n), menggunakan notasi O besar dengan n sebagai panjang deret (yang akan diurut). Setiap saat algoritme hanya perlu mengingat dua nilai: nilai terbesar yang ditemukan, dan posisinya sekarang dideretan input. Oleh karena itu dikatakan memiliki kebutuhan ruang O(1), jika ruang yang dibutuhkan untuk menyimpan angka masukan tidak dihitung, atau O(n) jika dihitung.Algoritme berbeda mungkin menyelesaikan pekerjaan yang sama dengan kumpulan instruksi yang berbeda dengan waktu, ruang, atau 'usaha' lebih sedikit atau banyak dari yang lain. Sebagai contohnya, algoritme pencairan binari biasanya mengungguli pencarian berderet secara paksa bila digunakan untuk tabel pencarian pada deret terurut.
Formal lawan empiris
Analisis dan kajian algoritme adalah bidang dari ilmu komputer, dan biasanya dilakukan secara abstrak tanpa menggunakan bahasa pemrograman tertentu atau implementasi. Dalam artian, analisis algoritme mirip dengan bidang matematika lainnya yang mana fokus pada properti yang mendasari algoritme dan bukan pada implementasi tertentu. Biasanya pseudokode digunakan pada analisis karena merupakan representasi paling umum dan sederhana. Namun, pada akhirnya, kebanyakan algoritme diimplementasikan di perangkat keras / lunak tertentu dan efisiensi algoritmik mereka akhirnya diuji menggunakan kode yang sebenarnya. Untuk solusi dari sebuah masalah, efisiensi dari algoritme tertentu mungkin tidak terlalu berpengaruh (kecuali n sangat besar) tetapi bagi algoritme yang dirancang untuk kecepatan interaktif, komersial, atau penggunaan ilmiah jangka panjang ia bisa saja kritikal. Meningkatkan n dari kecil ke n yang besar biasanya menunjukan ketak efisienan algoritme yang tidak berbahaya.Pengujian empiris berguna karena bisa membuka interaksi tak terduga yang mempengaruhi performa. Benchmark bisa digunakan untuk membandingkan potensi kenaikan sebelum/sesudah algoritme setelah optimisasi program dilakukan.
Efisiensi eksekusi
Untuk menggambarkan kemungkinan potensi peningkatan bahkan pada algoritme yang sudah teruji, inovasi terbaru, berkaitan dengan algoritme FFT (banyak digunakan di bidang pemrosesan gambar), bisa menurunkan waktu pemrosesan dengan faktor sampai 1.000 untuk aplikasi seperti pencitraan medis. [54] Secara umum, peningkatan kecepatan bergantung pada properti khusus dari permasalahan, yang mana sangat umum pada aplikasi praktis. [55] Percepatan dengan tingkat seperti itu membolehkan perangkat komputasi yang sering menggunakan pemrosesan gambar (seperti kamera digital dan peralatan medis) menghabiskan daya yang lebih sedikit.Klasifikasi
Salah satu cara mengklasifikasikan algoritme yaitu dengan cara implementasi.- Rekursi atau iterasi
- Sebuah algoritme rekursi yaitu algoritme yang memanggil dirinya sendiri berulang kali sampai kondisi tertentu tercapai, ini merupakan metode umum bagi pemrograman fungsional. Algoritme iteratif menggunakan konstruksi berulang seperti pengulangan dan terkadang struktur data tambahan seperti tumpukan untuk menyelesaikan permasalahan. Beberapa permasalahan secara alami cocok dengan satu implementasi atau lainnya. Sebagai contoh, Menara Hanoi dikenal dengan implementasi rekursif. Setiap versi rekursif memiliki kesamaan (tapi bisa lebih atau kurang kompleks) dengan versi iteratif, dan sebaliknya.
- Logical
- Sebuah algoritme bisa dilihat sebagai logika deduksi terkontrol. Pernyataan ini diekspresikan sebagai: Algoritme = logika + kontrol.[56] Komponen logika mengekspresikan aksioma yang bisa digunakan dalam komputasi dan komponen kontrol menentukan cara deduksi digunakan pada aksioma. Ini merupakan dasar dari paradigma pemrograman logika. Dalam bahasa pemrograman logika murni komponen kontrol adalah tetap dan algoritme ditentukan dengan memberikan hanya komponen logikanya. Daya tarik dari pendekatan ini adalah semantik elegan: sebuah perubahan dalam aksioma memiliki perubahan dalam algoritme.
- Serial, paralel atau terdistribusi
- Algoritme biasanya dibicarakan dengan asumsi bahwa komputer menjalankan satu instruksi algoritme setiap waktu. Komputer tersebut terkadang disebut dengan komputer serial. Rancangan algoritme untuk lingkungan tersebut disebut dengan algoritme serial, terbalik dengan algoritme paralel atau algoritme terdistribusi. Algoritme paralel memanfaatkan arsitektur komputer yang mana beberapa prosesor bisa mengerjakan masalah di waktu yang sama, selain itu algoritme terdistribusi memanfaatkan banyak mesin yang terhubung dengan jaringan. Algoritme paralel atau terdistribusi membagi permasalahan menjadi banyak sub-masalah simetris atau asimetris dan mengumpulkan hasilnya kembali. Konsumsi sumber pada algoritme tersebut tidak hanya perputaran prosesor disetiap prosesor tetapi juga daya komunikasi antara prosesor. Algoritme pengurutan bisa diparalelkan secara efisien, tetapi biaya komunikasinya sangat mahal. Algoritme iteratif secara umum bisa diparalelkan. Beberapa permasalahan tidak ada algoritme paralelnya, dan disebut dengan permasalahan serial lahiriah.
- Deterministik atau non-deterministik
- Algoritme deterministik menyelesaikan masalah dengan keputusan yang tepat disetiap langkah dari algoritme sedangkan algoritme non-deterministik menyelesaikan masalah lewat penerkaan walaupun penerkaan biasanya lebih akurat dengan menggunakan heuristik.
- Tepat atau perkiraan
- Bila banyak algoritme sampai pada solusi yang tepat, algoritme perkiraan mencari sebuah perkiraan yang terdekat dengan solusi benarnya. Perkiraan bisa menggunakan baik strategi deterministik atau acak. Algoritme seperti itu memiliki nilai guna untuk banyak permasalahan sulit.
- Algoritme quantum
- Berjalan di model realistik dari komputasi quantum. Istilah ini biasanya digunakan untuk algoritme yang tampak pada dasarnya quantum, atau menggunakan beberapa fitur penting komputasi quantum seperti superposisi quantum atau belitan quantum.
Paradigma secara rancangan
Cara lain mengklasifikasikan algoritme adalah dengan metodologi rancangannya atau paradigma. Ada sejumlah paradigma, tiap-tiapnya berbeda dari yang lain. Lebih lanjut, setiap kategori tersebut mengikutkan banyak tipe algoritme yang berbeda. Beberapa paradigma umum termasuk:- Pencarian paksa atau pencarian mendalam
- Ini merupakan metode naif mencoba setiap kemungkinan solusi untuk melihat yang terbaik.[57]
- Membagi dan menaklukan (Divide and conqueror)
- Algoritme bagi dan takluk secara berulang mereduksi instansi jumlah masalah menjadi satu atau lebih kecil instasi masalah yang sama (biasanya secara rekursif) sampai instansi cukup kecil diselesaikan dengan mudah. Salah satu contoh bagi dan takluk adalah pengurutan gabung. Pengurutan dapat dilakukan disetiap segmen data setelah membagi data menjadi segmen-segmen dan urutan seluruh data bisa didapat pada fase takluk dengan menggabungkan segmen-segmen. Variasi sederhana dari bagi-dan-takluk disebut algoritme kurang dan takluk, yang menyelesaikan sub-masalah yang sama dan menggunakan solusi dari sub-masalah tersebut untuk menyelesaikan masalah yang lebih besar. Bagi dan takluk membagi permasalahan menjadi banyak sub-masalah dan sehingga tahap takluk lebih kompleks daripada algoritme kurang-dan-taklukan. Sebuah contoh dari algoritme kurang-dan-taklukan adalah algoritme pencarian binari.
- Pencarian dan enumerasi
- Banyak masalah (seperti bermain catur) bisa dimodelkan sebagai masalah dalam grafik. Sebuah algoritme eksplorasi grafik menentukan aturan-aturan untuk bergerak disekitar grafik dan berguna bagi masalah tersebut. Kategori ini juga mengikutkan algoritme pencarian, enumerasi batas dan cabang dan backtracking.
- Algoritme pengacakan
- Algoritme ini membuat pilihan secara acak (atau pseudo-acak). Ia sangat berguna untuk menemukan solusi perkiraan untuk masalah dimana solusi yang pasti tidak praktis (lihat metode heuristik di bawah). Untuk beberapa masalah, diketahui bahwa perkiraan tercepat harus mengikutkan beberapa pengacakan.[58] Apakah algoritme pengacakan dengan kompleksitas waktu polinomial bisa menjadi algoritme tercepat untuk beberapa masalah masih menjadi pertanyaan terbukan yang dikenal sebagai Masalah P versus NP. Ada dua kelas besar dari algoritme ini:
- Algoritme Monte Carlo mengembalikan jawaban yang benar dengan probabilitas-tinggi. Misalnya, RP adalah sub-klas dari algoritme ini yang berjalan dalam waktu polinomial)
- Algoritme Las Vegas selalu mengembalikan jawaban yang benar, tetapi waktu prosesnya adalah hanya terikat secara probabilistik, misalnya ZPP.
- Reduksi
- Teknik ini menyelesaikan masalah sulit dengan mengubahnya menjadi permasalahan yang lebih diketahui yang mana kita (berharap) memiliki algoritme asimptotikal optimal. Tujuannya yaitu untuk menemukan sebuah algoritme reduksi yang kompleksitasnya tidak didominasi oleh algoritme hasil reduksi. Sebagai contoh, algoritme seleksi untuk menemukan rata-rata dalam daftar tak terurut mengikutkan mengurutkan daftar (bagian yang paling mahal) dan menarik elemen paling tengah dalam daftar terurut (bagian yang paling mudah). Teknik ini juga diketahui dengan ubah dan taklukan.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar